দিব্যেন্দু দ্বীপ-এর ফেসবুক ওয়াল থেকে গণিতের এই অসাধারণ কনটেন্টটুকু নেওয়া হয়েছে:
আমি একটি প্রথম শ্রেনির চাকরি করেছি কিছুদিন। মজার বিষয় হচ্ছে, কৃষি ব্যাংকের রিক্রুটমেন্টে আমি সেকেন্ড পজিশনে (সিনিয়র অফিসার ২০১১ ব্যাচ) ছিলাম। কিন্তু তখন পর্যন্ত চাকরির জন্য এক অক্ষরও কখনো আমি পড়ি নাই। শুধু দুটো দক্ষতার কারণে আমি চাকরিটা পেয়েছিলাম-
১। ম্যাথে আমি ন্যাচারালি ভালো;
২। ইংলিশের প্রতি আমি এডিকটেড।
আজকে অনেককে চাকরি বিষয়ে পরামর্শ দিতে হল। তো পরামর্শ এটাই, ইংরেজি-অংক ভালো হলে চাকরি একটা বাগাতে পারবা দ্রুত।
ম্যাথে আমি কীভাবে ন্যাচারালি ভালো একটু বুঝাই-
টিচার সিলেকশনে ছিলাম একটা এডুকেশন সেন্টারের জন্য। যাকে বাদ দিলাম তা দেখে কর্তৃপক্ষ অবাক, কারণ, তিনিই ছিলেন তাদের মতে সবচে তুখোর টিচার। বাদ দেওয়ার কারণ হচ্ছে, তিনি অংক মুখস্থ করান। প্রতিটি অংকের জন্য একটি সূত্র বাতলান!
বললাম, সূত্র ছাড়া দ্রুত করে দেখান। পারেন না। পাটিগণিতের (এরিথমেটিক) অংক করতে যদি কেউ আপনাকে সূত্র দেখায় তাকে রীতিমত শত্রু মনে করবেন। মুখস্থের বোঝা চাপাচ্ছে সে আপনার ওপর।
যেমন-
♦ কোনো একটি অায়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য যদি ১০% বাড়ে এবং প্রস্থ যদি ২০% বাড়ে তাহলে ক্ষেত্রফল কত পারসেন্ট বাড়ে?
[অংকটি করতে গিয়ে তিনি কোথা থেকে এক শর্টকাট সূত্র নিয়ে এসে চাকরি প্রত্যাশীদের মুখস্থ করাচ্ছেন।
আমি ওনাকে বললাম, এটা এমনিই ১০ সেকেন্ডে করা যায়, কেন কেউ মুখস্থ করতে যাবে এসব?
উনি রীতিমত চ্যালেঞ্জ করে বসলেন, আমাকে একটার পর একটা অংক ধরেন আর মুখ কালো করেন অবশেষে।]
এই অংকটা করে দেখাই,
আয়তক্ষেত্র বলুক আর বর্গক্ষেত্র বলুক, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উভয়টাই ১০ ধরতে হবে। ১০ ধরার কারণ হচ্ছে, ক্ষেত্রফল ১০০ রাখার জন্য। তাহলে কত শতাংশ ক্ষেত্রফল বাড়ল সেটি আর পরে আলাদাভাবে হিসেব করা লাগে না।
তাহলে দৈর্ঘ্য ১০% বাড়লে নতুন দের্ঘ্য হবে ১১; প্রস্থ ২০% বাড়লে নতুন প্রস্থ হবে ১২। ক্ষেত্রফল হবে ১১*১২ = ১৩২। তাহলে ৩২% বাড়ল।
১১ * ১২ =১৩২ -এটা দ্রুত পারা গেল, কারণ, ১১*১১ = ১২১, তাহলে ১১*১২ মানে ১২১ এর সাথে ১১ যোগ হয়েছে।
পারসেন্টেজ দ্রুত হিসেব করতে হয় ১০ ভিত্তিক ধরে। যেমন, ২০% মানে প্রতি ১০-এ ২, ২৫% মানে প্রতি ১০-এ ২.৫ -এরকম।
৪০ এর ১৭% = কত হবে? এটা বলতে ৫ সেকেন্ডের বেশি লাগবে না। ১৭% মানে ১০-এর মধ্যে ১.৭; ৪০-এর মধ্যে ৪টি ১০ আছে, তাহলে ৪০ এর ১৭% = ৪*১.৭ = ৬.৮।
৪ এর সাথে ১.৭ কীভাবে দ্রুত মনে মনে গুণ করা যায়?
৪ সাতারোং ৬৮, এক অংক পরে দশমিক। আবার ৪ এককে ৪+২.৮ = ৬.৮। যেকোনো একভাবে করলেই হয়।
অর্থাৎ প্রতিটি অংকের মধ্যে একটি যুক্তিপূর্ণ গল্প থাকে, সেটি ধরতে পারাই আসল কথা।
আরো দু’একটি অংক করে দেখাই-
♦♦ ২০ ফুট লম্বা তিনটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু’ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?
ক. ৪ খ. ৭ গ. ৮ ঘ. ১০
সমাধান: অঙ্কটি বুদ্ধি দিয়ে অনেক দ্রুত করা যায়। বলা হয়েছে ছোট অংশ যেন বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়। ছোট অংশ = ২ এবং বড় অংশ = ৩। মোট অংশ রয়েছে ৫টি।
৫ টি অংশ = ২০
১ টি অংশ = ৪
অতএব, ২টি অংশ একত্রে বা ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = ৮।
♦♦ একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্রছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরো ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা কত?
সমাধান: অংকটি প্রচলিত নিয়মে ধরে করতে গেলে অনেক সময় লাগবে। কিন্তু একটু বুদ্ধি করে করলে মাত্র পাঁচ সেকেন্ডে উত্তর বের করা সম্ভব। ১ টাকা করে দিলে ৭৫ টাকা উঠতে ৭৫ জন লোক লাগে। বলা হয়েছে যতজন লোক তত পয়শার চেয়ে ২৫ পয়শা করে বেশি দেওয়ায় ৭৫ টাকা উঠেছে। ৭৫ জন লোকে প্রতিজন ৭৫ পয়শার চেয়ে ২৫ পয়শা করে বেশি অর্থাৎ ১ টাকা করে দেওয়ায় ৭৫ টাকা উঠেছে। ব্যাপারটি তাই না?
গল্পটি ধরতে পারলেও অনেক সময় অংকটি সহজে পারা যায়।
♦♦ পেয়ারার কেজি ৪০ টাকা থেকে বেড়ে ৬০ টাকা হয়েছে। কত শতাংশ দাম বেড়েছে?
সমাধান: কোনোকিছু করা লাগবে না। মনে মনে গল্পটা বুঝুন। দাম বেড়েছে ২০ টাকা। ২০ টাকা ৪০ টাকার অর্ধেক না? অতএব, ৫০% দাম বেড়েছে।
♦♦ টাকায় ৩টি করে কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ –
ক. ৫০% খ. ৩০% গ. ৩৩% ঘ. ৩১%
সমাধান: টাকায় ৩ টি করে কিনলে ১০০ টাকায় কেনা যাবে ৩০০ টি। টাকায় ২ টি করে বিক্রি করলে ঐ ৩০০ টি বিক্রি হবে ১৫০ টাকায়। অতএব, লাভ হল ৫০%।
♦♦ ৬০ লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৭ঃ৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ঃ৭ হবে?
ক. ৭০ খ. ৮০ গ. ৯০ ঘ. ৯৮
সমাধান: ৭ঃ৩ অনুপাতে ৬০ লিটার মিশ্রনের মধ্যে কেরোসিন অাছে ৬ × ৭ = ৪২ লিটার। এবং পেট্রোল আছে ৬ × ৩ = ১৮ লিটার। এই হিসেবটুকু দ্রুত করতে পারতে হবে।
ঐ মিশ্রণে যদি আরো কিছু পরিমাণ পেট্রোল মিশানো হয়, তবে মিশ্রণে শুধুমাত্র পেট্রোলের পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে কিন্তু কেরোসিনের পরিমাণ একই থাকবে।
অর্থাৎ যদি অতিরিক্ত পেট্রোল মিশানোর ফলে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ঃ৭ হয়
তবে, নতুন মিশ্রণে ৩ অনুপাত = ৪২ (যেহেতু কেরোসিনের পরিমাণ অপরিবর্তীত আছে)
অতএব, ১ অনুপাত = ১৪
অর্থাৎ নতুন মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = ১৪ × ৭ = ৯৮ লিটার
অতএব, অতিরিক্ত পেট্রোল যোগ করতে হবে
= (৯৮ – ১৮) লিটার = ৮০ লিটার।
♦♦ ৬, ৮, ১০ -এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
ক. ৫ খ. ৮ গ. ৬ ঘ. ১০
সমাধান: দুই সেট সমান সংখ্যক সংখ্যার গড় সমান হলে সংখ্যাগুলোর যোগফলও সমান হবে।
অতএব, ৭ + ৯ +X = ৬ + ৮ + ১০
বা X = ২৪ – ১৬
বা X = ৮
♦♦ নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ১ হবে?
ক. ৭১ খ. ৪১ গ. ৩১ ঘ. ৩৯
সমাধান: ৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০
লগিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা ল.সা.গু ই হচ্ছে ক্ষুদ্রতম সেই সংখ্যা যাকে তার উৎপাদকগুলো দিয়ে ভাগ করলে মিলে যাবে।
যেহেতু এখানে ১ অবশিষ্ট থাকে সেক্ষেত্রে সংখ্যাটি হবে = ৩০ + ১ = ৩১।
♦♦ Worker A takes 8 hours to do a job. Worker B takes 10 hours to do the same job. How long should it take both A and B, working together but independently, to do the same job?
[A একটি কাজ ৮ দিনে করে, B কাজটি ১০দিনে করে। A এবং B একত্রে কাজটি কতদিনে করবে?]
4 hours b. 4 hours
4 hours d. None of these
Solution:
A takes 8 hours to do a job
A takes 1 hour to do the 1/8 part of the job.
B takes 10 hours to do the same full job
B takes 1 hour to do the 1/10 part of the job.
A + B together do 1/8 + 1/10 part of the job by 1 hour
A + B together do 1 part (full) of the job by 40/9 hours.
গল্পটা হচ্ছে, আলাদা আলাদাভাবে লোকগুলো এক ঘণ্টায় কতটুক কাজ করে, এরপর সে মানগুলো যোগ করে বের করতে হবে তারা একত্রে এক ঘণ্টায় কতটুকু কাজ করে। তাহলে সবটুকু কাজ করতে কত সময় লাগবে তা সহজে পাওয়া যাবে।
প্রত্যেকে এক ঘণ্টায় কতটুক কাজ করে তা বোঝার জন্য আসলে ঐকিক করে দেখার দরকার নেই। প্রশ্নের দিকে তাকিয়ে সংখ্যাগুলো ১-এর নিচে নামিয়ে নিলেই হয়।
সবগুলো ভগ্নাংশের লব ১ হলে সে যোগটিও খুব সোজা। সবগুলো ভগ্নাংশের হর যোগ হয়ে লবে বসবে, নিচে বসবে হরগুলোর ল.সা.গু। ল.সা.গু করার দরকার নেই, গুণ চিহ্ন দিয়ে সংখ্যাগুলো বসিয়ে দিলেই হবে।
এরপর লব হর পরস্পর উল্টিয়ে দিলেই তো উত্তর।
যে কোনো অংকের ক্ষেত্রে সহজ উপায়ে করার জন্য আগে নিয়মমাফিক বুঝে নিত হবে, না হলে সহজ উপায়টি মনে থাকবে না।
♦♦ The average of four consecutive odd positive integers is always-
a. An odd number b. Division by 4
c. An even number d. Both (b) and (c) e. None of them
Explanation:
▪ জোড় + জোড় = জোড়
▪ বিজোড় + জোড় = বিজোড়
▪ বিজোড় + বিজোড় = জোড়
গুণের হিসাব:
▪ জোড় × জোড় = জোড়
▪ বিজোড় × জোড় = জোড়
▪ বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়
♣ তবে এগুলো বোকার মত মুখস্থ রাখার দরকার নেই। পরীক্ষায় আসলে মনে মনে ধরে নিতে হবে। যেমন, যদি পরীক্ষায় আসে বিজোড় সংখ্যার সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে কী হয়, সেক্ষত্রে মনে মনে বিজোড় সংখ্যা ধরে নিয়ে হিসেব করে দেখলেই হবে। মুখস্থ যত কম করে পারবেন তত আপনার সুবিধা হবে, সময় বাঁচবে এবং মনে রাখার যে ধকল সেটিও সইতে হবে না।
এই অংকটির ক্ষেত্রে পরপর চারটি বিজোড় সংখ্যা ধরে নিয়ে গড় করে দেখতে হবে।
ধরলাম, ১, ৩, ৫, ৭। এদের গড় করলে হয়- ৪, যা একটি জোড় সংখ্যা।
অতএব, পরপর চারটি বিজোড় সংখ্যার গড় করলে সবসময় জোড় সংখ্যা হবে। বোঝার সুবিধার্থে আরো দুএকটি দিয়ে চেষ্টা করে দেখতে পারেন।
ধরি কনজিকিউটিভ বা পরপর বিজোড় সংখ্যা চারটি যথাক্রমে ৭, ৯, ১১, ১৩।
এই চারটি সংখ্যার গড় = ৪০/৪ =১০, যা একটি জোড় সংখ্যা। অতএব, ঠিক আছে।
♦♦ ভ্যাকুয়াম পাম্পের প্রতিটি স্ট্রোকে একটি এয়ার ট্যাংক-এর অর্ধেক খালি হয়। এরকম চারটি স্ট্রোক পরে ট্যাংকটির কতটুকু খালি হবে?
একটি স্ট্রোকে খালি হয় অর্ধেক-
অতএব, প্রথম স্ট্রোকে খালি হয় = ১/২ অংশ
খালি অংশ = ১/২
দ্বিতীয় স্ট্রোকে খালি হয় = ১/২/২ অংশ = ১/৪ অংশ
দ্বিতীয় স্ট্রোক শেষে মোট খালি অংশ = ১/২+১/৪ = ৩/৪ অংশ
তৃতীয় স্ট্রোকে খালি হয় = ১/৪/২ অংশ = ১/৮ অংশ
তৃতীয় স্ট্রোক শেষে মোট খালি অংশ = ৩/৪+১/৮ অংশ = ৭/৮ অংশ
চতুর্থ স্ট্রোকে খালি হয় = ১/৮/২ অংশ = ১/১৬ অংশ
চতুর্থ স্ট্রোক শেষে খালি হয় = ৭/৮+১/১৬ অংশ = ১৫/১৬ অংশ (উত্তর)
অংকটি ভিন্নভাবে সহজে করা যায়।
প্রথমে বের করতে হবে চারটি স্ট্রোক শেষে কতটুকু বাতাস অবশিষ্ট থাকে।
অবশিষ্ট থাকে = ১/২/২/২/২ = ১/১৬ অংশ
অতএব, খালি হয় = ১-১/১৬ = ১৫/১৬ অংশ (উত্তর)
বয়সের অংক:
যে কোনো একজনের বয়স ধরে নিয়ে দুইজনের বয়সের মধ্যে সম্পর্ক পাতিয়ে নিয়ে সমাধান করলে বয়সের অংক করা সহজ হয়। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে যে ছোট তার বয়সটা ধরে নিলে হিসেবটা একটু সহজ হয়।
অনুপাতের ক্ষেত্রে অনুপাতের সাথে কমন ফ্যাক্টরটি ধরে নিয়ে গুণ করতে হয়। শুধু বয়সের অংকের ক্ষেত্রে নয়, অনুপাতের অংকের সাধারণ একটি নিয়ম এটি।
♦♦ The present ages of three persons are in proportion 4 : 7 : 9 Eight years ago, the sum of their ages was 56. Find their present ages (in years).
[তিনজনের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৪:৭:৯। আট বছর আগে তাদের বয়সের সমষ্টি ছিল ৫৬বছর। তাদের বর্তমান বয়স কত?]
8, 20, 28 b. 16, 28, 36
20, 35, 45 d. None of these
Solution:
Eight years ago, the sum of their ages was 56
∴ The sum of their present age is 56 + (3 Χ 8) = 80 years
∴ 4x + 7x + 9x = 80
or, 20x = 80 or, x = 4
Their present age is 4 Χ 4, 7 Χ 4, 9 Χ 4 = 16, 28, 36
♦♦ Sum of the ages of a mother & a daughter is 50 years. Also, 5 Years ago, the mother’s age was 7 times the age of the daughter. The present ages of the mother and the daughter respectively are:
[মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর। ৫ বছর আগে মায়ের বয়স কন্যার বয়সের ৭ গুণ ছিল। মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়স যথাক্রমে:]
A 35, 15 B 38, 12 c 40, 10 D 42, 8
Solution: এসব অংক প্রথমে x ধরে করাই সবচেয়ে সহজ। কন্যার বর্তমান বয়স = x বছর। যেহেতু মা-মেয়ের বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর, সুতরাং মায়ের বর্তমান বয়স = (50 – x) বছর।
∴ (x – 5) Χ 7 = (50 – x – 5)
বা, x = 10.
∴ তাদের বর্তমান বয়স ১০ বছর এবং ৪০ বছর।
কিছু অংক আছে যেগুলো কিছুটা সূত্র নির্ভর, কিছু জিনিস সেক্ষেত্রে মনে রাখা লাগে। যেমন, নিচের অংকটি-
♦♦ Find the surface area of a 10 cm χ 4 cm χ 3 cm brick.
[10 cm Χ 4 cm Χ 3 cm বিশিষ্ট ইটের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?]
84 sq. cm b. 124 sq. cm
164 sq. cm d. 180 sq. cm
Solution:
ইট একটি আয়তকার ঘনবস্তু। আয়তকার ঘনবস্তুর একই মাপের দুটি করে তল থাক। একই সাথে আয়তকার ঘনবস্তুর রেখার মাপ হয় a, b, c
∴ আয়তকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল = 2ab + 2bc + 2ca
= 2(ab + bc + ca)
= 2(10 × 4 + 4 × 3 + 10 × 3)
= 2 × 82 = 164 (Ans.)
** সূত্রের লজিকটা বুঝলে সূত্রটা এমনিতেই মনে থাকে। সূত্রটা তো আর এমনি এমনি আসেনি, ওটা যুক্তি মেনে তৈরি করা হয়েছে। অায়তকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে কী হয় আসলে- সেখানে ছয়টি আয়তক্ষেত্র রয়েছে, যার দুটি করে আবার একই মাপের। অর্থাৎ ছয়টি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ করেই হয়েছে একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল। ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a2, কারণ, ঘনকে আসলে ৬টি বর্গক্ষেত্র আছে। ৬টি বর্গক্ষেক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ করে হয় ঘনকের ক্ষেত্রফল। আয়তনের ক্ষেত্রেও বিষয়টি একইরূপ যুক্তি মেনে চলে। যেমন, আয়তকার ঘনবস্তুর আয়তন = abc ঘন একক। এবং ঘনকের আয়তন a3 ঘন একক।
অনেকের রিকুয়েস্টের প্রেক্ষিতে দিব্যেন্দু দ্বীপ ৫ দিনের একটি এক্সক্লুসিভ জব ম্যাথ ওয়ার্কশপ নিতে সম্মত হয়েছেন। আগ্রহী যে কেউ নিচের নম্বরে যোগাযোগ করতে পারেন। সর্বাধিক ২০জন শিক্ষার্থীকে একটি সেশনে সুযোগ দেওয়া হবে।
ম্যাথ প্লে BY দিব্যেন্দু দ্বীপ
Contact: 0179 49 13584
Fee: 1000tk.
১০০টি নিয়মের ৫০০টি অংক বুঝে বুঝে করলে সকল চাকরির পরীক্ষার জন্য গণিতের প্রস্তুতি হয়ে যায়।
